二次方程式(Part2)

難易度☆(低:基本的な展開、因数分解ができる程度の方)

はじめに

皆さんこんにちは！

「二次関数」Part2です。Part1を見ていない方は是非そちらも見てください！

この記事では二次方程式について解説していきます。

基本的な展開、因数分解が分かれば大丈夫です。

二次方程式は $$ax^2+bx+c = 0 \quad (a \neq 0)$$ と表されます。

n次関数は最大でn個の実数解を持つため、この方程式の実数解は高々2個となります。

具体的な解を求めることはPart4で行いますが、ここでは方程式の解は何を指しているのか？を重点的に解説していきます。

方程式$ax^2+bx+c = 0$とは、$y = ax^2+bx+c$ と $y = 0$つまりx軸との交点に関する式です。

※この考え方は非常に重要です。方程式は代数学であり、それが図形という幾何学と結びついています。
このような分野の切り替えが非常にわかりにくく、思いつくことが困難であるものは「難しい問題」と認識されます。

具体的に見てみましょう。例えば$y=x^2-4x-5$のグラフは下図のようになります。

$x^2-4x-5 = 0$のxの実数解とは交点のx座標のことであり、グラフを見るとx軸と2点(-1,0),(5,0)で交わっていることが分かります。

よって、$x^2-4x-5 = 0$の実数解は2つあり、その解はx=-1, 5であることを示しています。

x軸と1点で交わる場合、つまり放物線とx軸が接しているとき、「二次方程式は重解を持つ」と言います。

しかし、放物線とx軸が交わらないときもあります。そのとき、「実数解は存在しないが解は存在する」という状態になっています。次は解の種類について見ていきましょう。

ここまで「実数解」という言葉を使ってきましたが、ただの「解」とは何が違うのでしょうか。

下のグラフを見てください。

この放物線には解が無いように見えますが、実際には異なる解が2つ存在しています。

その2つの解は実数ではなく複素数^【1】であるため、x軸と交わっていないように見えています。また、この解のことを虚数解と言います。

しかし虚数解であっても$y = 0$と交わっていることには変わりありません。そのことを確認してみましょう。(※ここからは、「ふーん、そうなんだ」程度に見てもらって構いません！)

赤のグラフは先ほどの放物線です。その頂点で接している水色の放物線は、$y = ax^2 + bx + c$のyが実数となるような複素数値x(虚部$\neq0$)を入れたグラフです。

赤のグラフはxに実数を代入しているため、$y = ax^2 + bx + c$の値は必ず実数となります。

$0$は$0+0i$とも表せますから、yの値が実数値となるようなxの軌跡、つまり先ほどの赤または水色のグラフいずれかの上に必ず、yが0となる点が存在します(つまり、$y=0$となるには$y$の虚部が$0$であることが必要であり、その点の集合が上のグラフとなる)。

2次元ではy=0はx軸、つまり直線を表していましたが、3次元であればy=0は平面を表します。なので、y=0の平面は水色のグラフと交わり(黄色の円の部分)、その交点が解となります。

このことについては詳しく解説するページを作る予定ですのでお待ちください。

(注)【1】複素数は実数を含んでいるため、正しくは「虚部が0でない複素数」。
以下では、複素数解といった場合は虚部が0でない複素数の解とする。

Part1,Part2では、二次関数の性質(特に$x^2$の性質)の観点から二次関数を分析してきました。

次回のPart3からは、二次関数を数式から分析していきます。