二次関数について(Part1)

はじめに

皆さんこんにちは！

「二次関数」 のPart1
この記事では、二次関数について/一次関数との違い/二次関数のグラフの形状
の3本立てでお送りします。

前提知識

一次関数と、基本的な展開・因数分解が分かれば大丈夫です。

• 単項式

  \(4\)や\(2x\),\(-5x^2y(z-1)\)のように一つの項で表される式。大まかには、数や文字が積または商のみで繋がった式。

• 多項式

  単項式と対になるもの。

  本来は、単項式の和または差で表された式のこと。しかし、単項式も多項式の一種として捉えられることも多い。

  本サイトでも後者の意で用いる。

二次関数の式

二次関数とは、xの多項式のうち最大の次数が2であるものを指します。

最大の次数が2ということは、二次関数は\(x^2\)の項を必ず持ち、\(x\)(一次)の項や定数項以外の項を持ちません。そのため、二次関数の式は下のようになります。

で表されるものの総称が二次関数です。

一次関数は\(y=ax+b\quad(a\neq0)\)で表されますが、二次関数と一次関数はどのように違うのでしょうか？次のsectionで見ていきましょう！

一次関数と二次関数の違い

一次関数のグラフは直線であり、傾きが一定でした。

しかし、二次関数のグラフは直線ではなく、傾きが\(x\)の値に応じて変化していきます。

二次関数のグラフは物を投げた時の軌道のようになります(下図のように逆さの時もある)。そのため、放物線とも呼ばれます(後程詳しく説明します)。

一次関数と二次関数のグラフを見比べてみましょう。

上図の一次関数のグラフは傾きが変わっていません。

しかし二次関数では、赤と緑の線から分かるように\(x\)の値に応じて傾きが異なります。

例えば\(x\)が「1から2」と「3から4」に変化した場合について考えてみましょう。

どちらも\(x\)の変化量は+1ですが、\(x^2\)では「1から4」と「9から16」に変化します。その変化量はそれぞれ「3」「7」となっています。 このように二次関数では、[\(x\)が同じだけ変化しても\(y\)の変化量は\(x\)の値に応じて異なる]性質を持っています。言い換えれば、二次関数の傾きは\(x\)に応じて変化するということです。

二次関数のグラフ

二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフの形状は\(a\)の正負によって大きく異なります。

\(a\)が正のとき、下側に突き出す形になります。このことを「下に凸」といいます。またこのとき、この放物線は最大値を持ちません(正の無限大)が最小値を持ちます。

\(a\)が負であればその反対で、上側に突き出す「上に凸」^【1】な放物線となります。このとき最小値はありません(負の無限大)が最大値を持ちます。

まとめ

• 二次関数は \(y=ax^2+bx+c\,(a\neq0)\) の形を持つ。
• 一次関数と異なり、グラフは直線ではなく放物線になる。
• 傾きはxに応じて変化する（一定ではない）。

次回

次回は、二次方程式やその解の種類について解説します！